Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=20，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=-2，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及前n項(xiàng)和S_n；
（2）求使S_n最大的序號(hào)n的值．
（3）求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知可知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差d=-2，a₁=20，然后代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式得答案；
（2）直接由通項(xiàng)大于等于求得n≤11，由此得到使S_n最大的序號(hào)n的值；
（3）寫出數(shù)列{|a_n|}的通項(xiàng)公式，然后分類求得數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=-2，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差d=-2，a₁=20，
∴a_n=a₁+（n-1）d=20-2（n-1）=22-2n．
Sn=

n(a1+an)

2

=

n(20+22-2n)

2

=-n2+21n；
（2）令a_n＞0，得22-2n≥0，∴n≤11，
故{a_n}中前10項(xiàng)為正，第11項(xiàng)為零，從第12項(xiàng)開始為負(fù)，故使S_n最大的n=10或n=11；
（3）|an|=

22-2n，n≤11 2n-22，n＞11

．
當(dāng)n≤11時(shí)，Tn=Sn=-n2+21n；
當(dāng)n＞11時(shí)，T_n=a₁+a₂+…+a₁₁-a₁₂-a₁₃-…-a_n
=-（a₁+a₂+…+a_n）+2S₁₁=-Sn+2S11=n2-21n+2×110=n2-21n+220．
∴Tn=

-n2+21n，n≤11 n2-21n+220，n＞11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．