Question

在區(qū)間[-2，2]內(nèi)隨機(jī)取兩個數(shù)a，b，則使得函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²+（4-b²）x-2（x∈R）既有極大值，又有極小值的概率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計

分析：先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²+（4-b²）x-2（x∈R）既有極大值又有極小值，可以得到△＞0，進(jìn)而得到a²+b²＞4，其面積為4π，區(qū)間[-2，2]內(nèi)隨機(jī)取兩個數(shù)a，b，其面積為16，即可求得結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³+ax²+（4-b²）x-2，
∴f′（x）=x²+2ax+（4-b²）
∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²+（4-b²）x-2（x∈R）既有極大值又有極小值
∴△=（2a）²-4×（4-b²）＞0
∴a²+b²＞4，其面積為4π，
區(qū)間[-2，2]內(nèi)隨機(jī)取兩個數(shù)a，b，其面積為16，
∴所求概率為1-

4π

16

=1-

π

4

．
故答案為：1-

π

4

．

點(diǎn)評：本題給出a、b滿足的關(guān)系式，求使得函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²+（4-b²）x-2（x∈R）既有極大值，又有極小值的概率，著重考查了面積計算公式、函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件、一元二次方程根的判別式和幾何概型計算公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．