Question

已知函數(shù)f（x）=

log2x-1

log2x+1

，x∈（1，+∞）
（1）若關(guān)于x的方程f（x）=a有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x₁）+f（x₂）=0，求f（x₁x₂）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，利用分離常數(shù)法化簡f（x）=

log2x-1

log2x+1

=1-

2

log2x+1

，從而求函數(shù)f（x）的值域，進(jìn)而求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）由題意，化f（x₁）+f（x₂）=0為log₂x₁•log₂x₂=1，從而利用基本不等式可得log₂x₁+log₂x₂≥2，即x₁x₂≥4，借助函數(shù)的單調(diào)性求最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

log2x-1

log2x+1

=1-

2

log2x+1

，
又∵x∈（1，+∞），
∴l(xiāng)og₂x+1＞1，
∴0＜

2

log2x+1

＜2，
故-1＜1-

2

log2x+1

＜1，
故若關(guān)于x的方程f（x）=a有解，則-1＜a＜1；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）=

log2x-1

log2x+1

在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（x₁）+f（x₂）=0，
∴l(xiāng)og₂x₁•log₂x₂=1，
又∵（

log2x1+log 2x2

2

）²≥log₂x₁•log₂x₂=1，
（當(dāng)且僅當(dāng)log₂x₁=log₂x₂=1時，等號成立）
∴l(xiāng)og₂x₁+log₂x₂≥2，
即x₁x₂≥4，
則f（x₁x₂）_min=f（4）=

2-1

2+1

=

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，同時考查了函數(shù)的值域的求法及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．