Question

已知函數(shù)f（x）=|x-3|．
（1）若不等式f（x-1）+f（x）＜a的解集為空集，求a的范圍；
（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求證：f（ab）＞|a|f（

b

a

）．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由條件利用絕對值三角不等式可得f（x-1）+f（x）≥1，再根據(jù)不等式f（x-1）+f（x）＜a的解集為空集，可得a的范圍．
（2）尋找使f（ab）＞|a|f（

b

a

）成立的充分條件為（a²-1）（b²-9）＞0，而由條件可得，（a²-1）（b²-9）＞0 顯然成立，從而原不等式成立．

解答： 解：（1）由題意可得f（x-1）+f（x）=|x-4|+|3-x|≥|（x-4）+（3-x）|=1，
不等式f（x-1）+f（x）＜a的解集為空集，∴a≤1．
（2）∵|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，
要證f（ab）＞|a|f（

b

a

），即證|ab-3|＞|b-3a|，
只需證 a²•b²-6ab+9＞9a²+b²-6ab，
只需證（a²-1）（b²-9）＞0．
而由條件可得，a²-1＜0 b²-9＜0，
故（a²-1）（b²-9）＞0 顯然成立．
從而原不等式成立．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值三角不等式、用分析法證明絕對值不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．