Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2alnx．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線斜率為1，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)g（x）=

2

x

+f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f'（2）=1，解得即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即-

2

x2

+2x+

2a

x

≤0在[1，2]上恒成立．即a≤

1

x

-x2在[1，2]上恒成立．利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)h(x)=

1

x

-x2，在[1，2]上的最小值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）f′(x)=2x+

2a

x

=

2x2+2a

x

…（2分）
由已知f'（2）=1，解得a=-3．…（4分）
（2）由g(x)=

2

x

+x2+2alnx得g′(x)=-

2

x2

+2x+

2a

x

，
由已知函數(shù)g（x）為[1，2]上的單調(diào)減函數(shù)，
則g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即-

2

x2

+2x+

2a

x

≤0在[1，2]上恒成立．
即a≤

1

x

-x2在[1，2]上恒成立．…（9分）
令h(x)=

1

x

-x2，在[1，2]上h′(x)=-

1

x2

-2x=-(

1

x2

+2x)＜0，
所以h（x）在[1，2]為減函數(shù).h(x) min=h(2)=-

7

2

，
所以a≤-

7

2

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等知識(shí)，屬于中檔題．