Question

已知函數(shù)f（x）在R上為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)f（x）=2x+1，則函數(shù)f（x）的解析式為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先考慮x=0時(shí)的情況，利用奇函數(shù)的定義即可獲得函數(shù)值，然后考慮x＜0時(shí)的情況，任設(shè)x∈（-∞，0），
則-x＞0，利用已知條件：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2x+1和函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，化簡即可獲得x＜0時(shí)的解析式．最后寫成分段函數(shù)的形式即可．

解答： 解：由題意可知：
當(dāng)x=0時(shí)，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-0）=-f（0）=f（0），
∴f（0）=0；
當(dāng)x＜0時(shí)，任設(shè)x∈（-∞，0），則-x＞0，
又因?yàn)椋寒?dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2x+1，
所以：f（-x）=-2x+1=-2x+1，
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴-f（x）=2x-1，
∴f（x）=-2x+1．
所以函數(shù)f（x）在R上的解析式為：f（x）=

2x+1，(x＞0) 0，(x=0) -2x+1，(x＜0)

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故答案為：f（x）=

2x+1，(x＞0) 0，(x=0) -2x+1，(x＜0)

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點(diǎn)評：本題考查的是函數(shù)的奇偶性和解析式求解的綜合類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、奇函數(shù)的定義以及問題轉(zhuǎn)化的能力．值得同學(xué)們體會和反思．