Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且（a-1）S_n=a（a_n-1）（a＞0．n∈N^*）
（1）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求a_n；
（2）當(dāng)a=

1

2

時，設(shè)b_n=S_n+λn+

λ

2n

，試確定實數(shù)λ的值，使數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（3）已知集合A={x|x²-（a+1）x+a≤0}，問是否存在正數(shù)a，使得對于任意的n∈N^*，都有S_n∈A，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用“當(dāng)n=1時，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”及其等比數(shù)列的定義及其通項公式即可得出．
（2）當(dāng)a=

1

2

時，由（1）利用等差數(shù)列的前n項和公式可得S_n=1-

1

2n

，b_n，要使{b_n}為等差數(shù)列，可得b₁+b₃=2b₂，解出λ即可．
（3）對a分類討論，a≥1時比較簡單．若0＜a＜1，可得A=[a，1]，利用等比數(shù)列的前n項和公式可得S_n=

a

1-a

-

an

1-a

．可得Sn∈[a，  

a

1-a

)．要使S_n∈A，必須

0＜a＜1 a 1-a ≤1

，解得即可．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時，（a-1）a₁=a（a₁-1）得a₁=a＞0．
∵（a-1）S_n=a（a_n-1），
∴當(dāng)n≥2時，（a-1）S_n-1=a（a_n-1-1），
兩式相減得（a-1）a_n=a（a_n-a_n-1），化為a_n=aa_n-1．
∴a_n＞0恒成立，且

an

an-1

=a(n≥2)，
∴{a_n}是等比數(shù)列．
又{a_n}的首項a₁=a，公比為a，
∴an=an．
（2）當(dāng)a=

1

2

時，由（1）得Sn=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

，
∴bn=1-

1

2n

+λn+

λ

2n

=1+λn+

λ-1

2n

，
要使{b_n}為等差數(shù)列，則b₁+b₃=2b₂，
即1+λ+

λ-1

2

+1+3λ+

λ-1

23

=2(1+2λ+

λ-1

22

)，
解得λ=1，
又當(dāng)λ=1時，b_n=n+1，
∴{b_n}為等差數(shù)列，
綜上所述：λ=1．
（3）若a=1，則A={1}，S_n=n，∴S₂∉A，不合題意；
若a＞1，則A=[1，a]，S2=a+a2＞a，∴S₂∉A，不合題意；
若0＜a＜1，則A=[a，1]，Sn=a+a2+…+an=

a(1-an)

1-a

=

a

1-a

-

a1+n

1-a

．
∴Sn∈[a，  

a

1-a

)．
要使S_n∈A，則

0＜a＜1 a 1-a ≤1

，解得，0＜a≤

1

2

．
綜上所述，滿足條件的正數(shù)a存在，a的取值范圍為(0，  

1

2

]．

點評：本題考查了利用“當(dāng)n=1時，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”及其等比數(shù)列的定義及其通項公S_n式、前n項和公式、集合的性質(zhì)，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．