在三棱錐P-ABC中,△PAC和△PBC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,AB=2,O是AB的中點(diǎn).
(1)在棱PA上求一點(diǎn)M,使得OM∥平面PBC;
(2)求證:平面PAB⊥平面ABC.
解法一:(1)當(dāng)M為棱PA的中點(diǎn)時(shí),OM∥平面PBC.
證明如下:
∵M,O分別為PA,AB的中點(diǎn),
∴OM∥PB.
又PB⊂平面PBC,OM⊄平面PBC,
∴OM∥平面PBC.
(2)連接OC,OP.
∵AC=CB=,O為AB的中點(diǎn),AB=2,
∴OC⊥AB,OC=1.
同理,PO⊥AB,PO=1.
又PC=,∴PC2=OC2+PO2=2,
∴∠POC=90°,∴PO⊥OC.
∵AB∩OC=O,
∴PO⊥平面ABC.
∵PO⊂平面PAB,
∴平面PAB⊥平面ABC.
解法二:設(shè)=a,=b,=c,則由條件知|a|=|b|=|c|=,a·c=b·c=1,
在△PAB中,PA=PB=,AB=2,∴PA⊥PB,∴a·b=0.
(1)設(shè)=λa,則=-=λa-(a+b)=(λ-)a-b,
∵OM∥平面PBC,
∴存在實(shí)數(shù)s,k,使=sb+kc,
∴sb+kc=(λ-)a-b,
由平面向量基本定理知,λ=,s=-,k=0,
∴M為PA的中點(diǎn).
(2) =(a+b),
∵·=(a+b)·(c-a)
=(a·c+b·c-|a|2-a·b)=0,
·=(a+b)·(b-a)=(|b|2-|a|2)=0,
∴
∴是平面ABC的法向量,
又PO⊂平面PAB,
∴平面PAB⊥平面ABC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
設(shè)平面區(qū)域D是由雙曲線y2-=1的兩條漸近線和拋物線y2=-8x的準(zhǔn)線所圍成的三角形(含邊界與內(nèi)部).若點(diǎn)(x,y)∈D,則x+y的最小值為( )
A.-1 B.0
C.1 D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分別為MB、PB、PC的中點(diǎn),且AD=PD=2MA.
(1)求證:平面EFG⊥平面PDC;
(2)求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
平面α經(jīng)過三點(diǎn)A(-1,0,1)、B(1,1,2),C(2,-1,0),則下列向量中與平面α的法向量不垂直的是( )
A. B.(6,-2,-2)
C.(4,2,2) D.(-1,1,4)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
.如圖,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中點(diǎn).
(1)求證:AF∥平面BCE;
(2)求證:平面BCE⊥平面CDE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn),則點(diǎn)C1到平面B1EF的距離等于( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)O、E分別是A1C1、AA1的中點(diǎn),AO⊥平面A1B1C1.已知∠BCA=90°,AA1=AC=BC=2.
(1)證明:OE∥平面AB1C1;
(2)求異面直線AB1與A1C所成的角;
(3)求A1C1與平面AA1B1所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1.在三角形內(nèi)挖去半圓(圓心O在邊AC上,半圓分別與BC、AB相切于點(diǎn)C、M,與AC交于點(diǎn)N),則圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
空間中一條線段AB的三視圖中,俯視圖是長(zhǎng)度為1的線段,側(cè)視圖是長(zhǎng)度為2的線段,則線段AB的長(zhǎng)度的取值范圍是( )
A.(0,2] B.[2,]
C.[2,3] D.[2,]
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