Question

如圖，在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，點(diǎn)O、E分別是A₁C₁、AA₁的中點(diǎn)，AO⊥平面A₁B₁C₁.已知∠BCA＝90°，AA₁＝AC＝BC＝2.

(1)證明：OE∥平面AB₁C₁；

(2)求異面直線AB₁與A₁C所成的角；

(3)求A₁C₁與平面AA₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

　解法1：(1)證明：∵點(diǎn)O、E分別是A₁C₁、AA₁的中點(diǎn)，∴OE∥AC₁，

又∵EO⊄平面AB₁C₁，AC₁⊂平面AB₁C₁，

∴OE∥平面AB₁C₁.

(2)∵AO⊥平面A₁B₁C₁，∴AO⊥B₁C₁，

又∵A₁C₁⊥B₁C₁，且A₁C₁∩AO＝O，

∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，∴A₁C⊥B₁C₁.

又∵AA₁＝AC，∴四邊形A₁C₁CA為菱形，

∴A₁C⊥AC₁，且B₁C₁∩AC₁＝C₁，

∴A₁C⊥平面AB₁C₁，∴AB₁⊥A₁C，

即異面直線AB₁與A₁C所成的角為90°.

(3)∵O是A₁C₁的中點(diǎn)，AO⊥A₁C₁，∴AC₁＝AA₁＝2，

又A₁C₁＝AC＝2，∴△AA₁C₁為正三角形，

∴AO＝，又∠BCA＝90°，∴A₁B₁＝AB＝2，

設(shè)點(diǎn)C₁到平面AA₁B₁的距離為d，

∵VA－A₁B₁C₁＝VC₁－AA₁B₁，

即·(·A₁C₁·B₁C₁)·AO＝·S△AA₁B·d.

又∵在△AA₁B₁中，A₁B₁＝AB₁＝2，

∴S△AA₁B₁＝，∴d＝，

∴A₁C₁與平面AA₁B₁所成角的正弦值為.

解法2：∵O是A₁C₁的中點(diǎn)，AO⊥A₁C₁，∴AC＝AA₁＝2，又A₁C₁＝AC＝2，∴△AA₁C₁為正三角形，∴AO＝，又∠BCA＝90°，∴A₁B₁＝AB＝2，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則A(0,0，)，A₁(0，－1,0)，E(0，－，)，C₁(0,1,0)，B₁(2,1,0)，C(0,2，)．

(1)∵，

∴，即OE∥AC₁，

又∵EO⊄平面AB₁C₁，AC₁⊂平面AB₁C₁，

∴OE∥平面AB₁C₁.

(2)∵＝(2,1，－)，＝(0,3，)，

∴＝0，即∴AB₁⊥A₁C，

∴異面直線AB₁與A₁C所成的角為90°.

(3)設(shè)A₁C₁與平面AA₁B₁所成角為θ，

設(shè)平面AA₁B₁的一個(gè)法向量是n＝(x，y，z)，

則

不妨令x＝1，可得n＝(1，－1，)，

∴sinθ＝cos＝，

∴A₁C₁與平面AA₁B₁所成角的正弦值為.

[點(diǎn)評(píng)]　注意直線的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值是線面角的正弦值，而不是余弦值．