Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=2，an+1=

4an-2

3an-1

(n∈N*)，設(shè)bn=

3an-2

an-1

．
（Ⅰ）試寫出數(shù)列{b_n}的前三項；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅲ）設(shè){a_n}的前n項和為S_n，求證：Sn≤

(n+2)•2n-1-1

2n-1

（n∈N^*）

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a1=2，an+1=

4an-2

3an-1

(n∈N*)，寫出數(shù)列{b_n}的前三項；
（Ⅱ）利用an+1=

4an-2

3an-1

，bn=

3an-2

an-1

，代入計算，即可證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，從而求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅲ）利用放縮法，即可證明．

解答： （Ⅰ）解：由a1=2，an+1=

4an-2

3an-1

(n∈N*)，得a2=

6

5

，a3=

14

13

．
由bn=

3an-2

an-1

，可得b₁=4，b₂=8，b₃=16．…（3分）
（Ⅱ）證明：因an+1=

4an-2

3an-1

，故bn+1=

3an+1-2

an+1-1

=

12an-6-6an+2

4an-2-3an+1

=2•

3an-2

an-1

=2bn．…（6分）
顯然an≠

2

3

，因此數(shù)列{b_n}是以

3a1-2

a1-1

=4為首項，以2為公比的等比數(shù)列-（7分）
由b_n=

3an-2

an-1

=4•2n-1=2n+1
解得an=

2n+1-2

2n+1-3

．…（8分）
（Ⅲ）證明：因為an=1+

1

2n+1-3

≤1+

4

2n+1

=1+

1

2n-1

（當(dāng)且僅當(dāng)n=1時取等號）---（12分）
故Sn≤

n

k=1

(1+

1

2k-1

)=n+

1-2-n

1-2-1

=

(n+2)•2n-1-1

2n-1

…（14分）

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了放縮法，是中檔題．