Question

（本小題滿分14分）

設函數(shù)

（I）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（II）若對任意恒成立，求實數(shù)的最小值；

（III）設是函數(shù)圖象上任意不同兩點，線段AB中點為C，直線AB的斜率為k.證明：.

Answer 1

（Ⅰ）的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為; （Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析

【解析】

試題分析：(I)將代入函數(shù)解析式，可得根據(jù)導數(shù)在函數(shù)單調性中的應用，即可求出的單調遞增，遞減區(qū)間． (Ⅱ)由題意知：，在時恒成立，即在區(qū)間上恒成立，又，利用分離參數(shù)法，可得 在區(qū)間上恒成立．構造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調性，即可求出結果；(Ⅲ) 由于，又，所以 ，即證，不妨設，即證：，即證：，設，即證：，構造輔助函數(shù)，利用函數(shù)的單調性即可證明結果.

試題解析：(I)當時，

當時，單調遞減；

當時，單調遞增，

綜上，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．

(Ⅱ)由題意知：，在時恒成立，

即在區(qū)間上恒成立，

又， 在區(qū)間上恒成立．

設，，

又令，則

當時，單調遞減，

，即在區(qū)間恒成立，

所以在區(qū)間單調遞增，，

故．

(Ⅲ)證明：又

所以 ，即證

不妨設，即證：，

即證：，設，即證：，

也就是要證：，其中

事實上：設，

則

所以在單調遞增，因此，即結論成立．

考點：1.導數(shù)在函數(shù)單調性中的應用；2. 導數(shù)在函數(shù)最值的應用；3. 導數(shù)證明不等式中的應用.