Question

已知函數(shù)f（x）=

3

msinxcosx+mcos²x+n（m，n∈R）在區(qū)間[0，

π

4

]上的值域為[1，2]．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ） 在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，當(dāng)m＞0時，若f（A）=1，sinB=4sin（π-C），△ABC的面積為

3

，求邊長a的值．

Answer 1

考點：余弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）運用二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡f（x），對m討論，m＞0，m＜0，根據(jù)值域求得m，n，再求單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)m＞0時，求得A，再由正弦定理得到b=4c，由面積公式，即可得到b，c 再由余弦定理求得a．

解答： 解：（Ⅰ） f(x)=

3

msinxcosx+mcos2x+n=

3 m

2

sin2x+

m

2

(1+cos2x)+n
=

m

2

(

3

sin2x+cos2x)+

m

2

+n=msin(2x+

π

6

)+

m

2

+n，
當(dāng)x∈[0，

π

4

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，則

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．
由題意知m≠0，
①若m＞0，則

m 2 + m 2 +n=1 m+ m 2 +n=2

，
解得m=2，n=-1，則f(x)=2sin(2x+

π

6

)，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
②若m＜0，則

m+ m 2 +n=1 m 2 + m 2 +n=2

，
解得m=-2，n=4．則f(x)=-2sin(2x+

π

6

)+3，
由f(x)=2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）當(dāng)m＞0時，由2sin(2A+

π

6

)=1，所以A=

π

3

．
因為sinB=4sin（π-C），所以sinB=4sinC，則b=4c，
又△ABC面積為

3

，所以S=

1

2

bcsin

π

3

=

3

，即bc=4，
所以b=4，c=1，則a2=42+12-2×4×1×cos

π

3

=13，
所以a=

13

．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求單調(diào)區(qū)間和求值域，考查正弦、余弦定理和面積公式及運用，考查運算能力，屬于中檔題．