Question

已知函數(shù)f（x）=

2

x-1

．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，6]上的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，6]上為減函數(shù)．運用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形、定符號、下結論幾個步驟；
（2）由（1）的結論：函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，6]上為減函數(shù)，即可得到最值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，6]上為減函數(shù)．
理由如下：設2≤m＜n≤6，則f（m）-f（n）=

2

m-1

-

2

n-1

=

2(n-m)

(m-1)(n-1)

，由于2≤m＜n≤6，則n-m＞0，m-1＞0，n-1＞0，
則f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n）．
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，6]上為減函數(shù)；
（2）由于函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，6]上為減函數(shù)，
則f（2）最大且為2，f（6）最小且為

2

5

．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運用：求最值，屬于中檔題．