Question

已知函數f（x）=-x²+2x+b²-b+1（b∈R），若當x∈[-1，1]時，f（x）＞0恒成立，則b的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：考查函數f（x）的圖象與性質，得出函數f（x）在[-1，1]上是單調增函數，由f（x）_min＞0求出b的取值范圍即可．

解答： 解：∵函數f（x）=-x²+2x+b²-b+1的對稱軸為x=1，
且開口向下，
∴函數f（x）在[-1，1]上是單調遞增函數，
而f（x）＞0恒成立，
∴f（x）_min=f（-1）=-1-2+b²-b+1＞0，
解得b＜-1或b＞2，
∴b的取值范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）．
故答案為：（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點評：本題考查了利用函數的圖象與性質求不等式的解集的問題，解題時應熟記基本初等函數的圖象與性質，是基礎題．