如圖菱形ABEF所在平面與直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，,點H、G分別是線段EF、BC的中點.
（1）求證：平面AHC平面;（2）點M在直線EF上，且平面，求平面ACH與平面ACM所成銳角的余弦值.
（1）詳見解析；（2）平面ACH與平面ACM所成銳角的余弦值為.

試題分析：（1）要證面面垂直，首先證線面垂直.那么在本題中證哪條線垂直哪個面？結合條件可得，，所以面AHC，從而平面AHC平面BCE.（2）因為AD、AB、AH兩兩互相垂直，故分別以AD、AB、AH所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，然后利用空間向量即可求解.
（1）在菱形ABEF中，因為，所以是等邊三角形，又因為H是線段EF的中點，所以
因為面ABEF面ABCD，且面ABEF面ABCD=AB，
所以AH面ABCD，所以
在直角梯形中，AB=2AD=2CD=4，，得到，從而，所以，又AHAC=A
所以面AHC，又面BCE，所以平面AHC平面BCE    .6分
（2）分別以AD、AB、AH所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則有
設點，則存在實數(shù)，使得，代入解得
由（1）知平面AHC的法向量是
設平面ACM的法向量是，則得
所以
即平面ACH與平面ACM所成銳角的余弦值為.      12分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，,分別是棱的中點.
（1）證明平面；
（2）若二面角P-AD-B為，
①證明：平面PBC⊥平面ABCD
②求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.
 

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正三棱柱中，點在邊上，
（1）求證：平面；
（2）如果點是的中點，求證：//平面.

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如圖,已知長方形中,, ,為的中點．將沿折起，使得平面平面．
(1)求證：； 
(2)若點是線段的中點，求二面角的余弦值．

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，AD//BC,AC,，點M在線段PD上.

（1）求證：平面PAC；
（2）若二面角M-AC-D的大小為，試確定點M的位置.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為BB1、C1D1的中點，建立適當?shù)淖鴺讼担笃矫鍭MN的法向量.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的個數(shù)為________．
①若l⊥m，m?α，則l⊥α；②若l⊥α，l∥m，則m⊥α；③若l∥α，m?α，則l∥m；④若l∥α，m∥α，則l∥m.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

[2013·南京模擬]已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題：
①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，則α∥β；
②若l?α，l∥β，α∩β＝m，則l∥m；
③若α∥β，l∥α，則l∥β；
④若l⊥α，m∥l，α∥β，則m⊥β.
其中真命題是________(寫出所有真命題的序號)．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設是不同的直線，是不同的平面，有以下四個命題：
①若則  
②若則 
③若則  
④若則 
其中真命題的序號是(    )
A．①③B．①④C．②③D．②④

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