Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為DD₁的中點
（Ⅰ）求證：直線BD₁⊥AC；
（Ⅱ）求異面直線BD₁與CE所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（I）證明AC⊥BD，且AC⊥DD₁，即可證明AC⊥平面BDD₁，從而證明AC⊥BD₁；
（Ⅱ）在平面ABB₁A₁作BF∥CE，得到∠FBD₁為異面直線BD₁與CE所成角，借助于余弦定理求其余弦值．

解答： （I）證明：在正方體ABCD中，連結BD，
∴AC⊥BD，
又∵DD₁⊥平面ABCD，且AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁，
∴AC⊥平面BDD₁，
∵BD₁?平面BDD₁，
∴直線BD₁⊥AC；
（Ⅱ）解：在平面ABB₁A₁作BF∥CE，
則∠FBD₁為異面直線BD₁與CE所成角，
連接FD₁，如圖，
設正方體棱長為2，則BF²=5，FD₁²=5，BD₁²=12，
∴cos∠FBD₁=

BF2+BD12-FD12

2×BF×BD1

=

5+5-12

2×5

=-

1

5

，
∴異面直線BD₁與CE所成角的余弦值

1

5

；

點評：本題考查了正方體中的線線關系；關鍵是熟練正方體的性質以及線面垂直的判定定理．