Question

已知函數(shù)．
（1）求證：函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）任取0＜x₁＜x₂＜+∞，

=
所以：函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，
得即
記，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
得g（x）＞g（1）=3，
所以：a≤3
（3）函數(shù)y=f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
�。┊攏＞m＞0時，f（x）在[m，n]上是增函數(shù)，解得：a＞2
ⅱ） 當0＞n＞m時，f（x）在[m，n]上是減函數(shù)，解得：a=0
所以：a∈{0}∪（2，+∞）．
分析：（1）任取0＜x₁＜x₂＜+∞，由=，能夠證明函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）由f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，得．記，在（1，+∞）上是增函數(shù)，得g（x）＞g（1）=3，由此能求出a的范圍．
（3）函數(shù)y=f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），再由n＞m＞0和0＞n＞m兩種情況分別討論實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的應用，解題時要認真審題，仔細求解，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．