Question

我國(guó)東部某風(fēng)景區(qū)內(nèi)住房著一個(gè)少數(shù)民族部落，該部落擬投資1500萬(wàn)元用于修復(fù)和加強(qiáng)民俗文化基礎(chǔ)設(shè)施，據(jù)測(cè)算，修復(fù)好部落民俗文化基礎(chǔ)設(shè)施后，任何一個(gè)月（每月按30天計(jì)算）中第n天的游客人數(shù)a，近似滿足a_n=10+

10

n

（單位：千人），第n天游客人均消費(fèi)金額b，近似滿足b_n=162-|n-18|（單位：元）
（Ⅰ）求該部落第n天的日旅游收入c_n（單位：千元，1≤n≤30，n∈N^*）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若以一個(gè)月中最低日旅游收入金額的1%作為每一天應(yīng)回收的投資成本，試問(wèn)該部落至少經(jīng)過(guò)幾年就可以收回全部投資成本．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,分段函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)旅游收入p（x）等于每天的旅游人數(shù)a_n與游客人均消費(fèi)b_n的乘積，然后去絕對(duì)值，從而得到所求；
（Ⅱ）分別研究每一段函數(shù)的最值，第一段利用基本不等式求最小值，第二段利用函數(shù)的單調(diào)性研究最小值，再比較從而得到日最低收入，最后根據(jù)題意可判斷該村在兩年內(nèi)能否收回全部投資成本．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)1≤n≤18時(shí)，c_n=（10+

10

n

）（144+n）=1450+

1440

n

+10n   …（2分）
當(dāng)19≤n≤30時(shí)，c_n=（10+

10

n

）（180-n）=1790+

1800

n

-10n     …（4分）
綜上，c_n=

1450+ 1440 n +10n，1≤n≤18 1790+ 1800 n -10n，19≤n≤30

                      …（6分）
（Ⅱ）當(dāng)1≤n≤18時(shí)，c_n=1450+

1440

n

+10n≥1450+2

1440 n •10n

=1690（當(dāng)且僅當(dāng)n=12時(shí)取等號(hào)）                                                     …（8分）
當(dāng)19≤n≤30時(shí)，c_n=1790+

1800

n

-10n
∵y=

1800

n

-10n在[19，30]上為減函數(shù)，
∴c_n≤1790+

1800

30

-10×30=1550                               …（10分）
于是（c_n）min=1550（千元），即日最低收入為1550千元．
該村一年可收回的投資資金為1550×1%×30×12=5580（千元）=558（萬(wàn)元），
兩年可收回的投資資金為558×2=1116（萬(wàn)元），
三年可收回的投資資金為558×3=1674（萬(wàn)元）．
∴至少經(jīng)過(guò)3年可以收回全部投資成本．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．解決實(shí)際問(wèn)題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．屬于中檔題．