Question

方程lgx+x=2的根x₀∈（k，k+1），其中k∈Z，則k=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)f（x）=lgx+x-2，求出函數(shù)f（x）的定義域，并判斷出函數(shù)的單調(diào)性，驗(yàn)證f（1）＜0和f（2）＞0，可確定函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為方程lgx+x=2的一個(gè)根x₀∈（1，2），即可求出k的值．

解答： 解：由題意設(shè)f（x）=lgx+x-2，則函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）是單調(diào)增函數(shù)，
因?yàn)閒（1）=0+1-2=-1＜0，f（2）=lg2+2-2=lg2＞0，
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)，
即方程lgx+x=2的一個(gè)根x₀∈（1，2），
因?yàn)閤₀∈（k，k+1），k∈Z，所以k=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．