數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2
2
)an+sin2
2
,n∈N*,設(shè)bn=
a2n-1
a2n
,Sn=b1+b2+…+bn,則Sn+
n+2
2n
=( 。
A、0
B、2
C、1
D、1+
n+2
2n+1
考點(diǎn):數(shù)列的求和
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:由數(shù)列遞推式可得,當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時,a2k+1-a2k-1=1,數(shù)列{a2k-1}是首項為1、公差為1的等差數(shù)列,當(dāng)n=2k(k∈N*)時,數(shù)列{a2k}是首項為2、公比為2的等比數(shù)列,求出數(shù)列{an}的通項公式,代入
bn=
a2n-1
a2n
整理,得到數(shù)列{bn}的通項公式,然后利用錯位相減法求Sn,移項變形后可得答案.
解答: 解:∵a1=1,a2=2,
當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時,a2k+1=[1+cos2
(2k-1)π
2
]a2k-1+sin2
(2k-1)π
2
=a2k-1+1,
即a2k+1-a2k-1=1.
∴數(shù)列{a2k-1}是首項為1、公差為1的等差數(shù)列,
因此a2k-1=k.
當(dāng)n=2k(k∈N*)時,a2k+2=(1+cos2
2kπ
2
)a2k+sin2
2kπ
2
=2a2k
∴數(shù)列{a2k}是首項為2、公比為2的等比數(shù)列,
因此a2k=2k
故數(shù)列{an}的通項公式為
an=
n+1
2
(n=2k-1,k∈N*)
2
n
2
(n=2k,k∈N*)

則bn=
a2n-1
a2n
=
n
2n
,
∴Sn=b1+b2+…+bn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n
2n
,①
1
2
Sn=
1
22
+
2
23
+
3
24
+…+
n-1
2n
+
n
2n+1
,②
①-②得,
1
2
Sn=
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
-
n
2n+1
=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
-
n
2n+1
=1-
1
2n
-
n
2n+1

∴Sn=2-
1
2n-1
-
n
2n
=2-
n+2
2n

則Sn+
n+2
2n
=2.
故選:B.
點(diǎn)評:本題考查了數(shù)列遞推式,考查了數(shù)列通項公式的求法,訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的前n項和,是中高檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直線l:ρ=
3
3
cosθ-sinθ
交極軸于A點(diǎn),過極點(diǎn)O作l的垂線,垂足為C,現(xiàn)將線段CA繞極點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)
π
2
,則在旋轉(zhuǎn)過程中線段CA所掃過的面積為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若關(guān)于x不等式kx2-kx+1>0的解集為R,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( 。
A、(0,4)
B、[0,+∞)
C、(0,+∞)
D、[0,4)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

用3種不同顏色給圖中的3個矩形隨機(jī)涂色,每個矩形只涂一種顏色.則3個矩形顏色都不同的概率為( 。
A、
1
3
B、
2
9
C、
1
9
D、
7
9

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在長為12的線段AB上任取一點(diǎn)M,并以線段AM為邊作正三角形.此正三角形的面積介于9
3
與16
3
之間的概率(  )
A、
1
6
B、
1
8
C、
1
4
D、
1
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出以下四個說法:
①殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越小
②在刻畫回歸模型的擬合效果時,相關(guān)指數(shù)R2的值越大,說明擬合的效果越好;
③在回歸直線方程
y
=0.2x+12中,當(dāng)解釋變量x每增加一個單位時,預(yù)報變量
y
平均增加0.2個單位;
④對分類變量X與Y,若它們的隨機(jī)變量K2的觀測值k越小,則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大.
其中正確的說法是( 。
A、①④B、②④C、①③D、②③

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某人要制作一個三角形,要求它的三條高的長度分別為
1
3
,
1
5
1
7
,則此人能(  )
A、不能作出這樣的三角形
B、作出一個銳角三角形
C、作出一個直角三角形
D、作出一個鈍角三角形

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,acosA=bcosB,則△ABC是( 。
A、等邊三角形
B、等腰直角三角形
C、等腰三角形或直角三角形
D、兩直角邊互不相等的直角三角形

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c,若a2+c2-b2=
2
ac,則∠B為( 。
A、60°B、45°或135°
C、135°D、45°

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同步練習(xí)冊答案