Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2x-1

+a（a∈R）為奇函數(shù)，函數(shù)g（x）=m•2^x-m．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若在區(qū)間（-∞，0）上，y=f（x）的圖象恒在y=g（x）的圖象的下方，試確定實數(shù)m的范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=

1

2x-1

+a（a∈R）為奇函數(shù)，可得：f（-x）+f（x）=0，求出a值后，進而得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若在區(qū)間（-∞，0）上，y=f（x）的圖象恒在y=g（x）的圖象的下方，

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

2x-1

+a（a∈R）為奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=

1

2-x-1

+a+

1

2x-1

+a=

-2x

2x-1

+a+

1

2x-1

+a=2a-1=0，
解得：a=

1

2

，
故f（x）=

1

2x-1

+

1

2

（2）若在區(qū)間（-∞，0）上，y=f（x）的圖象恒在y=g（x）的圖象的下方，
∴當x∈（-∞，0）時，

1

2x-1

+

1

2

＜m•2^x-m恒成立，
即

2x+1

2(2x-1)

＜m（2^x-1）恒成立，
即m＜

2x+1

2(2x-1)2

=

1

2(2x+ 4 2x )-6

恒成立，
當x∈（-∞，0）時，2^x∈（0，1），2x+

4

2x

∈（5，+∞），2(2x+

4

2x

)-6∈（4，+∞），
∴

1

2(2x+ 4 2x )-6

∈（0，

1

4

）
故m≤0

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題，函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的圖象關(guān)系，是函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度較大，屬于難題．