Question

已知函數f（x）=x²-2ax-1
（Ⅰ）若a=1時，求f（x）在R上的值域；
（Ⅱ）求f（x）在[0，2]上的最小值．

Answer 1

考點：二次函數在閉區(qū)間上的最值,函數的值域

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）配方，求f（x）在R上的值域；
（Ⅱ）先配方得到函數的對稱軸為x=a，將對稱軸移動，討論對稱軸與區(qū)間[0，2]的位置關系，合理地進行分類，從而求得函數的最小值．

解答： 解：（I）當a=1時，f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2
∴f（x）的值域為[-2，+∞）；
（Ⅱ）∵y=（x-a）²-a²-1
∴a＜0時，在區(qū)間[0，2]上單調遞增，故y_min=-1；
0≤a≤2時，在對稱軸處取最小值，故y_min=-a²-1；
a＞2時，在區(qū)間[0，2]上單調遞減，故y_min=（2-a）²-a²-1=3-4a，
綜合可得，a＜0時，y_min=-1，0≤a≤2時，y_min=-a²-1，a＞2時，y_min=3-4a．

點評：配方求得函數的對稱軸是解題的關鍵．由于對稱軸所含參數不確定，而給定的區(qū)間是確定的，這就需要分類討論．利用函數的圖象將對稱軸移動，合理地進行分類，從而求得函數的最值，當然應注意若求函數的最大值，則需按中間偏左、中間偏右分類討論．