Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，邊AD，BC的延長線交于點P，直線AE切⊙O于點A，且AB•CD=AD•PC．求證：
（Ⅰ）△ABD∽△CPD；
（Ⅱ）AE∥BP．

Answer 1

考點：相似三角形的判定,平行線分線段成比例定理

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）已知AB•CD=AD•PC，即

AB

PC

=

AD

CD

，所以要證△ABD∽△CPD，只需證得兩組對應(yīng)邊的夾角相等即可，而這組角可通過圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的基礎(chǔ)上，可求得∠ABD=∠P；根據(jù)弦切角定理可求得∠EAD=∠ABD，即∠EAD=∠P；內(nèi)錯角相等，可證得兩直線平行．

解答： 證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠BAD=∠DCP．
又AB•CD=AD•PC，
∴

AB

PC

=

AD

CD

．
∴△ABD∽△CPD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠ABD=∠P．
又AE為切線，AD為弦，
∴∠EAD=∠ABD，即∠P=∠EAD．
∴AE∥BP．

點評：本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用．