Question

下列命題中，真命題的個數是
①若f（x）=ln（2x），則f′（x）=

1

x

；
②若f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-10），則f′（2）=8!；
③若f（x）為可導函數，其導數f′（x）為偶函數，則原函數f（x）為奇函數；
④∫_-1¹[

4-x2

+lg（

1+x2

-x）]dx=

3

+

2π

3

．（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：導數的綜合應用

分析：分別根據導數的運算公式以及積分的計算公式即可得到結論．

解答： 解：①若f（x）=ln（2x），則f′（x）=

1

2x

•2=

1

x

；正確，
②若f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-10）=（x-2）[（x-1）（x-3）…（x-10）]，
則f′（x）=[（x-1）（x-3）…（x-10）]+（x-2）[（x-1）（x-3）…（x-10）]′，
則f′（2）=1×（-1）（-2）…（-8）=8!，正確；
③若f（x）=3為可導函數，其導數f′（x）=0為偶函數，但原函數f（x）為偶函數；故③錯誤，
④∫_-1¹[

4-x2

+lg（

1+x2

-x）]dx=∫_-1¹[

4-x2

dx+∫_-1¹lg（

1+x2

-x）]dx，
∵lg（

1+x2

-x）]dx是奇函數，∴∫_-1¹lg（

1+x2

-x）]dx=0，
∫_-1¹[

4-x2

dx的幾何意義為半徑為2的半圓的面積，則∫_-1¹[

4-x2

dx=

1

2

×π×22=2π，
故∫_-1¹[

4-x2

+lg（

1+x2

-x）]dx=2π，則④錯誤，
故正確的是①②，
故選：B

點評：本題主要考查與導數運算有關的命題的真假判斷，要求熟練掌握常見函數的導數公式以及積分的計算．