Question

已知點(diǎn) N（1，0）和直線l：x=-1，坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn) P到 N的距離等于其到直線l：x=-1的距離．
（1）求動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程；
（2）若點(diǎn) A（t，4）是動(dòng)點(diǎn) P的軌跡上的一點(diǎn)，K（m，0）是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)m取何值時(shí)，直線 A K與圓x²+（y-2）²=4相離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)P（x，y），利用|x+1|=

(x-1)2+y2

，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
解法2：判斷點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線求出p，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）由A（t，4）在軌跡y²=4x上，求出t=4，得到A坐標(biāo)，當(dāng)m=4時(shí)，判斷直線AK與圓的位置關(guān)系；當(dāng)m≠4時(shí)，直線AK的方程為y=

4

4-m

(x-m)，通過(guò)圓心到直線AK的距離與半徑的關(guān)系，得到m＞1時(shí)，直線AK與圓x²+（y-2）²=4相離．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），則點(diǎn)P到l的距離|x+1|，|PN|=

(x-1)2+y2

…（2分）
由題意得，|x+1|=

(x-1)2+y2

，…（3分）
化簡(jiǎn)得y²=4x．所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y²=4x．…（5分）
解法2：由題得點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線…（2分）
∴設(shè)P的軌跡方程為y²=2px，…（3分）
∴p=2，…（4分）
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y²=4x．…（5分）
（2）由A（t，4）在軌跡y²=4x上，則4²=4t，解得t=4，即A（4，4）．…（6分）
當(dāng)m=4時(shí)，直線AK的方程為x=4，此時(shí)直線AK與圓x²+（y-2）²=4相離．…（7分）
當(dāng)m≠4時(shí)，直線AK的方程為y=

4

4-m

(x-m)，即4x+（m-4）y-4m=0．…（8分）
圓x²+（y-2）²=4的圓心（0，2）到直線AK的距離d=

|2m+8|

16+(m-4)2

，…（10分）
令d=

|2m+8|

16+(m-4)2

＞2，…（11分）   
 解得m＞1．…（13分）
綜上所述，當(dāng)m＞1時(shí)，直線AK與圓x²+（y-2）²=4相離．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與拋物線方程的綜合應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．