Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+3

3x

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（

1

an

），n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式，
理科：（2）令b_n=

1

an-1an

（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若S_n＜

m-2005

2

對一切n∈N₊成立，求最小整數(shù)m．
文科：（2）令b_n=

1

anan+1

（n≥1），求{b_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n+1-a_n=

2

3

，又a₁=1，由此能求出a_n=

2n+1

3

．
理科（2）由已知得S_n=3+

9

3×5

+

9

5×7

+…+

9

(2n-1)(2n+1)

，由此利用裂項求和法和放縮法能求出最小整數(shù)m為2014．
文科（2）由b_n=

1

anan+1

=

3

(2n+1)

•

3

(2n+3)

=

9

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），利用裂項求和法能求出{b_n}的前n項和．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

2x+3

3x

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（

1

an

），n∈N^*，
∴a_n+1=

2 an +3

3 an

=

2+3an

3

，
∴a_n+1-a_n=

2

3

，
又a₁=1，∴a_n=

2n+1

3

．
理科：（2）∵b_n=

1

an-1an

（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，
∴S_n=3+

9

3×5

+

9

5×7

+…+

9

(2n-1)(2n+1)

=3+

9

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=3+

9

2

(

1

3

-

1

2n+1

)＜3+

9

2

×

1

3

=

9

2

，
∵S_n＜

m-2005

2

對一切n∈N₊成立，
∴

M-2005

2

≥

9

2

，∴M≥2014，
∴最小整數(shù)m為2014．
文科：（2）∵b_n=

1

anan+1

=

3

(2n+1)

•

3

(2n+3)

=

9

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

）
∴{b_n}的前n項和：
S_n═

9

2

（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）
=

9

2

(

1

3

-

1

2n+3

)
=

3n

2n+3

．

點評：本題考查列{a_n}的通項公式的求法，考查最小整數(shù)m的求法，考查{b_n}的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．