Question

20．橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，則它的離心率=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直線y=-x交橢圓于A，B兩點，AB=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可知：橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，焦點在x軸上，a=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，將直線y=-x代入直線方程，利用弦長公式即可求得丨AB丨．

解答 解：橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，焦點在x軸上，a=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，解得：x=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由弦長公式可知：丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x₁-x₂丨=$\sqrt{1+1}$•丨-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$丨=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴丨AB丨=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的離心率，弦長公式，考查計算能力，屬于中檔題．