Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x³+mx²-2x+2）．
（Ⅰ）假設(shè)m=-2，求f（x）的極大值與極小值；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m，使f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞增？如果存在，求m的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）將m=-2帶入f（x），求f′（x），根據(jù)極值的定義去判斷極值點(diǎn)，并求出極值．
（Ⅱ）先假設(shè)存在m，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，若f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞增，則f′（x）在[-2，-1]上滿足：f′（x）≥0，所以要求出f′（x），并變成f′（x）=xe^x[x²+（m+3）x+2m-2]．∵xe^x＜0，∴只要x²+（m+3）x+2m-2≤0．∵是在[-2，-1]上單調(diào)遞增，∴只要滿足f′（-2）≤0，且f′（-1）≤0，這樣就能求m的范圍了．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=e^x（x³-2x²-2x+2）；
∴f′（x）=xe^x（x-2）（x+3）；
∴x∈（-∞，-3）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（-3，0）時(shí)，f′（x）＞0，∴x=-3時(shí)，f（x）取到極小值f（-3）=-27e^-3；
x∈（0，2）時(shí)，f′（x）＜0，∴x=0時(shí)，f（x）取到極大值f（0）=2；
x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，∴x=2時(shí)，f（x）取到極小值f（2）=-2e²．
（Ⅱ）f′（x）=xe^x[x²+（m+3）x+2m-2]；
∴要使f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞增，則：f′（x）＞0，∵xe^x＜0；
只要x²+（m+3）x+2m-2＜0；
∴

(-2)2-2(m+3)+2m-2≤0 (-1)2-(m+3)+2m-2≤0

；
解得m≤4，∴m的取值范圍是（-∞，4]．

點(diǎn)評(píng)：考查極值的定義以及求解極值的過(guò)程，和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系．解決本題的一個(gè)關(guān)鍵是：當(dāng)?shù)贸鲈赱-2，-1]上x(chóng)²+（m+3）x+2m-2≤0時(shí)，只要

f′(-2)≤0 f′(-1)≤0

．