Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，

2

），且離心率為

2

2

，
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)B₁，B₂為橢圓C的下、上頂點(diǎn)．直線l：y=kx+4交橢圓C于兩點(diǎn)M、N，設(shè)直線B₁M、B₂N的斜率分別為k₁、k₂，證明：k₁+3k₂=0．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

4 a2 + 2 b2 =1 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）聯(lián)立

y=kx+4 x2 8 + y2 4 =1

，得（2k²+1）x²+16kx+24=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能證明k₁+3k₂=0．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，

2

），且離心率為

2

2

，
∴

4 a2 + 2 b2 =1 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得a²=8，b²=4，
∴橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=kx+4 x2 8 + y2 4 =1

，得（2k²+1）x²+16kx+24=0，
則x1+x2=-

16k

2k2+1

，x1x2=

24

2k2+1

，
∴k1+3k2=

y1+2

x1

+3•

y2-2

x2

=

(kx1+6)x2+3(kx2+2)x1

x1x2

=4k+6•(-

16k

2k2+1

)•

2k2+1

24

=0，
∴k₁+3k₂=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．