Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F(xiàn)為線段DE的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）求二面角C-BF-E的平面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)BD和AC交于O，連結(jié)OF，由已知得OF∥BE，由此能證明BE∥平面ACF．
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，以DE為x軸建立坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C-BF-E的平面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)BD和AC交于O，連結(jié)OF，…（1分）
∵ABCD為正方形，∴O為BD中點(diǎn)，
∵F為DE中點(diǎn)，∴OF∥BE，…（3分）
∵BE?平面ACF，OF?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．…（4分）
（Ⅱ）解：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，∵ABCD為正方形，∴CD⊥AD，
∵AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，∴CD⊥平面DAE，
∵DE?平面DAE，∴CD⊥DE…（6分）
∴以D為原點(diǎn)，以DE為x軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則E（2，0，0），F(xiàn)（1，0，0），A（2，0，2），D（0，0，0）
∵AE⊥平面CDE，DE?平面CDE，∴AE⊥DE，∵AE=DE=2，
∴AD=2

2

，∵ABCD為正方形，∴CD=2

2

，∴C(0，2

2

，0)，
由ABCD為正方形可得：

DB

=

DA

+

DC

=(2，2

2

，2)，∴B(2，2

2

，2)
設(shè)平面BEF的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，

BE

=(0，-2

2

，-2)，

FE

=(1，0，0)
由

n1 • BE =0 n1 • FE =0

⇒

-2 2 y1-2z1=0 x1=0

，
令y₁=1，則z1=-

2

∴

n1

=(0，1，-

2

)…（8分）
設(shè)平面BCF的法向量為

n2

=(x2，y2，z2)，

BC

=(-2，0，-2)，

CF

=(1，-2

2

，0)
由

n2 • BC =0 n2 • CF =0

⇒

-2x2-2z2=0 x2-2 2 y2=0

，
令y₂=1，則x2=2

2

，z2=-2

2

，
∴

n2

=(2

2

，1，-2

2

)…（10分）
設(shè)二面角C-BF-E的平面角的大小為θ，則cosθ=cos(π-＜

n1

，

n2

＞)=-cos＜

n1

，

n2

＞=-

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=-

1+4

3 × 17

=-

5 51

51

∴二面角C-BF-E的平面角的余弦值為-

5 51

51

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．