Question

已知中心在坐標原點O，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為

1

2

，且經(jīng)過點M（1，

3

2

）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若F是橢圓C的右焦點，過F的直線交橢圓C于M、N兩點，T為直線x=4上任意一點，且T不在x軸上，
（�。┣�

FM

•

FN

的取值范圍；
（ⅱ）若OT平分線段MN，證明：TF⊥MN（其中O為坐標原點）．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,平面向量數(shù)量積的運算,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1a＞0，b＞0，運用方程組求解，（2）（�。┓诸悽偃糁本�l斜率不存在，②若直線l斜率存在，利用韋達定理求解，
（ⅱ）求出直線OT的斜率k′=

yQ

xQ

=-

3

4k

，TF的斜率k_TF=

-3 k -0

4-1

=-

1

k

，根據(jù)斜率判斷．

解答： 解：（1）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1a＞0，b＞0，則

e= c a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

 解得a²=4，b²=3，所以橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，
（2）（ⅰ）易得F（1，0）
①若直線l斜率不存在，則l：x=1，此時M（1，

3

2

），n（1，-

3

2

），

FM

•

FN

=-

9

4

，
②若直線l斜率存在，設l：y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

消去y得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=

8k2

4k2+3

，x₁x₂=

4k2-12

4k2+3

，
∴

FM

•

FN

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（1+k²）[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=

-9

4- 1 1+k2

，
∵k²≥0∴0＜

1

1+k2

≤1∴3≤4-

1

1+k2

＜4
∴-3≤

FM

•

FN

＜-

9

4

綜上，

FM

•

FN

的取值范圍為[-3，-

9

4

），
（ⅱ）線段MN的中點為Q，則由（�。┛傻茫瑇_Q=

x1+x2

2

=

4k2

4k2+3

，y_Q=k（x_Q-1）=

-3k

4k2+3

，
所以直線OT的斜率k′=

yQ

xQ

=-

3

4k

，所以直線OT的方程為：y=-

3

4k

x，
從而T（4，-

3

k

），此時TF的斜率k_TF=

-3 k -0

4-1

=-

1

k

，
所以k_TFk_MN=-

1

k

•k=-1，所以TF⊥MN．

點評：本題綜合考查了橢圓的方程，性質，結合韋達定理求解，運算量較大，屬于難題．