Question

設(shè)f（x）是R上的偶函數(shù)，且在[0，+∞）上遞減，若f（

1

2

）=0，若f（log 

1

4

x）＞0，那么x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，得到f（log 

1

4

x）=f（|log 

1

4

x|），然后，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到∴-

1

2

＜

1

2

log₂x＜

1

2

，從而得到相應(yīng)的范圍．

解答： 解：∵f（x）是R上的偶函數(shù)，
∴f（|x|）=f（x），
∴f（log 

1

4

x）=f（|log 

1

4

x|），
又∵f（x）在[0，+∞）上遞減，且f（

1

2

）=0，
∴f（|log 

1

4

x|）＞0=f（

1

2

），
∴|log 

1

4

x|＜

1

2

，
∴-

1

2

＜

1

2

log₂x＜

1

2

，
∴-1＜log₂x＜1，
∴

1

2

＜x＜2，
故答案為：（

1

2

，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，對(duì)數(shù)的運(yùn)算等知識(shí)，屬于中檔題，本題解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握偶函數(shù)的性質(zhì)．