【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.
(1)證明:MN∥平面PAB;
(2)求點M到平面PBC的距離.
【答案】
(1)證明:設(shè)PB的中點為Q,連接AQ,NQ;
∵N為PC的中點,Q為PB的中點,∴QN∥BC且QN= BC=2,
又∵AM=2MD,AD=3,∴AM= AD=2 且AM∥BC,
∴QN∥AM且QN=AM,
∴四邊形AMNQ為平行四邊形,
∴MN∥AQ.
又∵AQ平面PAB,MN平面PAB,
∴MN∥平面PAB;
(2)解:在Rt△PAB,Rt△PAC中,PA=4,AB=AC=3,
∴PB=PC=5,又BC=4,取BC中點E,連接PE,則PE⊥BC,且PE= = ,
∴S△PBC= ×BC×PE= ×4× =2 .
設(shè)點M到平面PBC的距離為h,則VM﹣PBC= ×S△PBC×h= h.
又VM﹣PBC=VP﹣MBC=VP﹣DBC ×S△ABC×PA= × ×4× ×4= ,
即 h= ,得h= .
∴點M到平面PBC的距離為為 .
【解析】(1)設(shè)PB的中點為Q,連接AQ,NQ,由三角形中位線定理結(jié)合已知可得四邊形AMNQ為平行四邊形,得到MN∥AQ.再由線面平行的判定可得MN∥平面PAB;(2)在Rt△PAB,Rt△PAC中,由已知求解直角三角形可得PE= = ,進一步得到S△PBC . 然后利用等積法求得點M到平面PBC的距離.
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識點,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在調(diào)查中學(xué)生是否抽過煙的時候,給出兩個問題作答,無關(guān)緊要的問題是:“你的身份證號碼的尾數(shù)是奇數(shù)嗎?”敏感的問題是:“你抽過煙嗎?”然后要求被調(diào)查的中學(xué)生擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次,如果出現(xiàn)奇數(shù)點,就回答第一個問題,否則回答第二個問題,由于回答哪一個問題只有被測試者自己知道,所以應(yīng)答者一般樂意如實地回答問題,如我們把這種方法用于300個被調(diào)查的中學(xué)生,得到80個“是”的回答,則這群人中抽過煙的百分率大約為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l經(jīng)過直線2x+y+5=0與x﹣2y=0的交點,圓C1:x2+y2﹣2x﹣2y﹣4=0與圓C2:x2+y2+6x+2y﹣6=0相較于A、B兩點.
(1)若點P(5,0)到直線l的距離為4,求l的直線方程;
(2)若直線l與直線AB垂直,求直線l方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:極坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線M的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),若以直角坐標(biāo)系中的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線N的極坐標(biāo)方程為 (t為參數(shù)).
(1)求曲線M的普通方程和曲線N的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線N與曲線M有公共點,求t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C過兩點M(﹣3,3),N(1,﹣5),且圓心在直線2x﹣y﹣2=0上
(1)求圓的方程;
(2)直線l過點(﹣2,5)且與圓C有兩個不同的交點A、B,若直線l的斜率k大于0,求k的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,是否存在直線l使得弦AB的垂直平分線過點P(3,﹣1),若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題是真命題的是( )
A.a>b是ac2>bc2的充要條件
B.a>1,b>1是ab>1的充分條件
C.?x0∈R,e ≤0
D.若p∨q為真命題,則p∧q為真
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓短軸端點和兩個焦點的連線構(gòu)成正方形,且該正方形的內(nèi)切圓方程為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合,直線與拋物線交于兩點,且,求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,E是BC的中點.
(1)求證:平面AB1E⊥平面B1BCC1;
(2)求證:平面AB1E.
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