Question

5．在△ABC中，BC=7，cosA=$\frac{1}{5}$，cosC=$\frac{5}{7}$，若動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+（2-2λ）$\overrightarrow{AC}$（λ∈R），則點(diǎn)P的軌跡與直線AB、AC所圍成的封閉圖形的面積為（　�。�

• A． 2$\sqrt{6}$
• B． 4$\sqrt{6}$
• C． 6$\sqrt{6}$
• D． 12$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量加法的幾何意義得出P點(diǎn)軌跡，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面積，從而求出圍成封閉區(qū)域的面積．

解答 解：取AB的中點(diǎn)D，AP中點(diǎn)Q，連結(jié)CD，則$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$．
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+（2-2λ）$\overrightarrow{AC}$=2[λ$\overrightarrow{AD}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$]
∴C，D，Q三點(diǎn)共線．
∴P點(diǎn)軌跡為平行于直線CD的直線，CD為中位線．
在△ABC中，sinA=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．sinC=$\frac{2\sqrt{6}}{7}$．
由正弦定理解得AB=5．
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{12\sqrt{6}}{35}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×5×7×\frac{12\sqrt{6}}{35}$=6$\sqrt{6}$
∴S_△ACP=2S_△ABC=12$\sqrt{6}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量線性運(yùn)算的幾何意義，正弦定理解三角形，屬于中檔題．