Question

已知函數(shù)f（x）=3x²-2x+b（b∈R），
（Ⅰ）解關(guān)于x的不等式f（x）≥0；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，恒有f（x）＜0，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)b=7，不等式f（x）-k（x+1）≥0，對(duì)于x∈[0，2]恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）分△≤0，與△＞0兩種情況寫(xiě)出不等式的解集；
（2）要使當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，恒有f（x）＜0，則f_最大值＜0即可；利用二次函數(shù)求最值的方法求出最值即可；
（3））當(dāng)b=7，不等式f（x）-k（x+1）≥0，化為f（x）≥k（x+1），進(jìn)一步3x²-2x+7≥k（x+1），進(jìn)一步化為k≤

3x2-2x+7

x+1

，
令g(x)=

3x2-2x+7

x+1

，要使原不等式對(duì)于x∈[0，2]恒成立，只需使k≤g（x）_最小值即可，再求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)求最小值．

解答： 解：（1）△=4-12b，
當(dāng)△≤0，即4-12b≤0，即b≥

1

3

時(shí)，f（x）≥0恒成立，不等式的解集為R；
當(dāng)△＞0，即4-12b＞0，即b＜

1

3

時(shí)，由3x²-2x+b=0得x₁=

1+ 1-3b

3

、x₂=

1- 1-3b

3

∴不等式f（x）≥0的解集為{x|x≤

1- 1-3b

3

，或x≥

1+ 1-3b

3

}
（2）要使當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，恒有f（x）＜0，則f_最大值＜0即可；
∵函數(shù)f（x）=3x²-2x+b（b∈R）的對(duì)稱(chēng)軸為x=

1

3

，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值，即f_最大值=f（-1）=5+b，
∴5+b＜0，∴b＜-5
（3）當(dāng)b=7，不等式f（x）-k（x+1）≥0，化為f（x）≥k（x+1），進(jìn)一步3x²-2x+7≥k（x+1）
∵x+1＞0，∴不等式等價(jià)于k≤

3x2-2x+7

x+1

，
令g(x)=

3x2-2x+7

x+1

，要使原不等式對(duì)于x∈[0，2]恒成立，只需使k≤g（x）_最小值即可，
g′(x)=

(6x-2)(x+1)-(3x2-2x+7)

(x+1)2

=

3(x+3)(x-1)

(x+1)2

，由g′（x）=0得x=1，
∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取最小值，∴g（x）_最小值=g（1）=

3-2+7

1+1

=4，
∴k≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)與不等式的關(guān)系，合理轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，也就是把恒成立的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值來(lái)處理．