Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，通項(xiàng)a_n與前n項(xiàng)和S_n之間滿足a_n=-2S_nS_n-1（n≥2），求a_n的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1（n≥2），從而

1

Sn-1

-

1

Sn

=-2，進(jìn)而Sn=

1

2n-1

，由此能求出a_n的通項(xiàng)公式．

解答： 解：∵a_n=-2S_nS_n-1（n≥2），
∴S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1（n≥2），
兩邊同時(shí)除以S_nS_n-1，得：

1

Sn-1

-

1

Sn

=-2，
又a₁=1，∴{

1

Sn

}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴

1

Sn

=1+（n-1）×2=2n-1，
∴Sn=

1

2n-1

，
a1=S1=

1

2-1

=1，
a_n=S_n-S_n-1=

1

2n-1

-

1

2(n-1)-1

=-

2

(2n-1)(2n-3)

，
n=1時(shí)，上式不成立，
∴a_n=

1，n=1 - 2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．