Question

（能力挑戰(zhàn)題）如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，且SA=SB=SD=AB=2．
（1）求證：AB⊥SD．
（2）求S到底面ABCD的距離．
（3）設(shè)G為CD的中點，在線段SA上是否存在一點F，使得GF∥平面SBC？
（4）在線段AB上是否存在一點P，使得SP與平面SCD所成的角的正切值為

2

？

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取AB的中點E，連接DE，BD，SE，證明AB⊥平面SDE，即可證明AB⊥SD．
（2）在平面SDE中，過S作SH⊥DE于H，SH的長即為S到平面ABCD的距離；
（3）F為AS的中點，利用向量法求解即可；
（4）P為AB的中點，利用向量法求解即可

解答： （1）證明：如圖，取AB的中點E，連接DE，BD，SE，
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴BD=2，△ABD為正三角形．
又∵E為AB的中點，∴DE⊥AB．
又∵SA=SB，∴SE⊥AB．
又∵SE∩DE=E，
∴AB⊥平面SDE．
∵SD?平面SDE，∴AB⊥SD．
（2）解：在平面SDE中，過S作SH⊥DE于H．
∵AB⊥平面SDE，∴AB⊥SH．
又∵AB∩DE=E，∴SH⊥平面ABD．
∴SH的長即為S到平面ABCD的距離．
在△ABD中，AB=AD=BD=2，∴DE=

3

，
在△SAB中，SA=SB=AB=2，∴SE=

3

．
在等腰△SDE中，SD=2，

∵SD• SE2-( 1 2 SD)2 =SH•DE， ∴SH= 2× 3-1 3 = 2 3 6 .

（3）解：假設(shè)AS上存在點F使GF∥平面SBC，連接BD，以正三角形ABD的中心O為原點，OA為x軸，OS為z軸，平行于BD的且過點O的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
A（

2

3

3

，0，0），B（-

3

3

，1，0），C（-

4

3

3

，0，0），
D（-

3

3

，-1，0），S（0，0，

2

3

6

），G（-

5

6

3

，-

1

2

，0），

AS

=（-

2

3

3

，0，

2

3

6

），
設(shè)

AF

=λ

AS

=λ（-

2

3

3

，0，

2

3

6

），
∴F（-

2

3

3

λ+

2

3

3

，0，

2

3

6

λ），

GF

=（-

2

3

3

λ+

3

2

3

，

1

2

，

2

3

6

λ），

BC

=（-

3

，-1，0），

SC

=（-

4

3

3

，0，-

2

3

6

）．
設(shè)平面SBC的一個法向量為

n

=（x，y，z），則有
-

3

x-y=0，-

4

3

3

x-

2

3

6

z=0．
令x=1，則y=-

3

，z=-

2

，
即

n

=（1，-

3

，-

2

）．
則有

GF

•

n

=0，
即（-

2 3

3

λ+

3 3

2

）+（-

3

2

）+

2

3

6

λ×（-

2

）=0．
化簡得-2

3

λ+

3

=0，解得λ=

1

2

．
故

AF

=

1

2

AS

，即F為AS的中點．
（4）解：假設(shè)線段AB上存在這樣的點P使SP與平面SCD所成的角的正切值為

2

，
即所成角的正弦值為

6

3

，

AB

=（-

3

，1，0），設(shè)

AP

=λ₁

AB

=（-

3

λ₁，λ₁，0），
則P（-

3

λ₁+

2

3

3

，λ₁，0），

SP

=（-

3

λ₁+

2

3

3

，λ₁，-

2

3

6

），

SC

=（-

4

3

3

，0，-

2

3

6

），

CD

=（

3

，-1，0）．
設(shè)平面SDC的一個法向量為n₁=（x₁，y₁，z₁），
則n₁•

SC

=0，n₁•

CD

=0，
解得n₁=（1，

3

，-

2

）．
cos＜

SP

，n1＞=

| SP •n1|

| SP |•|n1|

=

6

3

，代入，解得λ₁=

1

2

．
故P為AB的中點．

點評：本題考查直線與平面所成的角，考查點、線、面間的距離計算，考查向量法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，有難度．