Question

【題目】過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)（），若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）（方法一）依題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線，然后再根據(jù)韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，消去參數(shù)得，即可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

（方法二）利用點(diǎn)差法即可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

（2）直線的方程為，方程聯(lián)立后化為關(guān)于的一元二次方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，由弦長(zhǎng)公式以及列出關(guān)系式，即可求出結(jié)果．

（1）依題意，，設(shè)直線的方程為

由得，即

設(shè)，，則，，

設(shè)，則，

消去參數(shù)得，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.

（方法二）設(shè)，，，則

，，

當(dāng)時(shí)，，即

依題意，，，

所以，，

當(dāng)時(shí)，的中點(diǎn)為也滿足上式，

所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為

由，得，或，即

由，得，

設(shè)，則，，

由，得，

解得，，直線的方程為.