【題目】已知數(shù)列的前項和為，且點在函數(shù)的圖像上；

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列滿足：，，求的通項公式；

（3）在第（2）問的條件下，若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

【答案】（1）（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，.（3）

【解析】

（1）根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項公式;

（2）由（1）利用遞推公式及累加法,即可求得當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時的通項公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法,先猜想出通項公式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（3）分類討論,當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時,分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.

（1）由題意可知,.

當(dāng)時,,

當(dāng)時,也滿足上式.

所以.

（2）解法一：由（1）可知,

即.

當(dāng)時,,①

當(dāng)時,,所以,②

當(dāng)時,,③

當(dāng)時,,所以,④

……

當(dāng)時,n為偶數(shù)

當(dāng)時,n為偶數(shù)所以

以上個式子相加,得

.

又,所以當(dāng)n為偶數(shù)時,.

同理,當(dāng)n為奇數(shù)時,

,

所以,當(dāng)n為奇數(shù)時,.

解法二：

猜測：當(dāng)n為奇數(shù)時,

.

猜測：當(dāng)n為偶數(shù)時,

.

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

,命題成立；

假設(shè)當(dāng)時,命題成立；

當(dāng)n為奇數(shù)時,,

當(dāng)時,n為偶數(shù),由得

故,時,命題也成立.

綜上可知, 當(dāng)n為奇數(shù)時

同理,當(dāng)n為偶數(shù)時,命題仍成立.

（3）由（2）可知.

①當(dāng)n為偶數(shù)時,,

所以隨n的增大而減小從而當(dāng)n為偶數(shù)時,的最大值是.

②當(dāng)n為奇數(shù)時,,

所以隨n的增大而增大,且.

綜上,的最大值是1.

因此,若對于任意的,不等式恒成立,只需,

故實數(shù)的取值范圍是.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)調(diào)查了某班全部名同學(xué)參加學(xué)校社團的情況,數(shù)據(jù)如下表:(單位:人)

參加書法社

未參加書法社

參加辯論社

未參加辯論社

（1）從該班隨機選名同學(xué),求該同學(xué)至少參加一個社團的概率;

（2）在既參加書法社又參加辯論社的名同學(xué)中,有名男同學(xué),名女同學(xué).現(xiàn)從這名同學(xué)中男女姓各隨機選人(每人被選到的可能性相同).

(i)列舉出所有可能結(jié)果;

(ii)設(shè)為事件“被選中且未被選中”,求事件發(fā)生的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】A，B，C三個班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）：

A班

6 6.5 7 7.5 8

B班

6 7 8 9 10 11 12

C班

3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5

（Ⅰ）試估計C班的學(xué)生人數(shù)；

（Ⅱ）從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙.假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相互獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；

（Ⅲ）再從A，B，C三個班中各隨機抽取一名學(xué)生，他們該周的鍛煉時間分別是7，9，8.25（單位：小時）.這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，試判斷和的大小.（結(jié)論不要求證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓的右焦點為，點分別是橢圓的上、下頂點，點是直線上的一個動點（與軸交點除外），直線交橢圓于另一點.

（1）當(dāng)直線過橢圓的右焦點時，求的面積；

（2）記直線的斜率分別為，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù),.

(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;

(2)討論的單調(diào)性;

(3)若有兩個零點,求的取值范圍(只需直接寫出結(jié)果).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對任意，都有成立，求實數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若，求函數(shù)的極值；

（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若在上存在，使得成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某高校共有學(xué)生15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300名學(xué)生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時）.

（1）應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？

（2）根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：，，，，，，估計該校學(xué)生每周平均體育運動時間超過4小時的概率；

（3）在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“該校學(xué)生的毎周平均體育運動時間與性別有關(guān)”.

男生

女生

總計

每周平均體育運動時間不超過4小時

每周平均體育運動時間超過4小時

總計

附：，其中.

0.10

0.05

0.010

0.005

2.706

3.841

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司打算引進一臺設(shè)備使用一年，現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺10000元，乙設(shè)備每臺9000元.此外設(shè)備使用期間還需維修，對于每臺設(shè)備，一年間三次及三次以內(nèi)免費維修，三次以外的維修費用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計了曾使用過的甲、乙各50臺設(shè)備在一年間的維修次數(shù)，得到下面的頻數(shù)分布表，以這兩種設(shè)備分別在50臺中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.

維修次數(shù)

2

3

4

5

6

甲設(shè)備

5

10

30

5

0

乙設(shè)備

0

5

15

15

15

（1）設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺購買和一年間維修的花費總額分別為和，求和的分布列；

（2）若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，希望設(shè)備購買和一年間維修的花費總額盡量低，且維修次數(shù)盡量少，則需要購買哪種設(shè)備？請說明理由.

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