Question

【題目】已知橢圓C：（）過點(diǎn)，短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)過定點(diǎn)的直線1與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓上，求直線l的斜率k．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）通過短軸的一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2可知，且橢圓過點(diǎn)，得到方程組，解得；

（2）設(shè)直線方程為，通過以線段為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)可知，通過聯(lián)立直線與橢圓方程、利用韋達(dá)定理化簡，進(jìn)而計算可得結(jié)論；

解：（1）由題意可得，

解得：，，

橢圓的方程為；

（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)過的直線方程為，

聯(lián)立，消去、整理得：，

因為直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，

解得或

設(shè)，，，，

則，

以線段為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，

，即，

，

即，解得：滿足條件，

故