Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：對任意x∈（0，+∞）恒有2f（x+2）=f（x）成立；當x∈（0，2]時，f（x）=-|1-x|+1．給出以下命題：
①f（5）=

1

4

；
②當x∈（2，4]時，f（x）∈[0，

1

2

]；
③令g（x）-f（x）=k（x-1），若函數(shù)g（x）恰有三個零點，則實數(shù)k的取值范圍是(

1

16

，

1

4

)；
④?x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞（

2

2

） x0-1成立．
其中所有真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,簡易邏輯

分析：①注意到2f（x+2）=f（x），f（5）=

1

2

f（3）=

1

4

f（1）=

1

4

，
②注意到2f（x+2）=f（x），f（x）=

1

2

f（x-2）=-

1

2

|3-x|+

1

2

，從而求范圍，
③作出函數(shù)的圖象，函數(shù)g（x）恰有三個零點可化為函數(shù)f（x）與直線y=-k（x-1）有三個不同的交點，從而求解，
④作出函數(shù)的圖象，由圖象可得．

解答： 解：∵2f（x+2）=f（x），∴f（x）=

1

2

f（x-2），
∴f（5）=

1

2

f（3）=

1

4

f（1）=

1

4

，故①正確；
∵x∈（2，4]，∴x-2∈（0，2]；
∴f（x）=

1

2

f（x-2）=-

1

2

|3-x|+

1

2

，
∵0≤|3-x|≤1，∴f（x）∈[0，

1

2

]，故②正確；
函數(shù)g（x）恰有三個零點可化為
函數(shù)f（x）與直線y=-k（x-1）有三個不同的交點，
故

0.25

4

＜-k＜

0.5

2

，
故-

1

4

＜k＜-

1

16

，故③不正確；
由y=（

2

2

）^x-1=2

1-x

2

，
作圖如下，

f（x）的圖象始終在y=2

1-x

2

圖象的下方，
故④不成立．
故答案為：①②．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)的圖象的作法，同時考查了命題真假性的判斷，屬于難題．