Question

13．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，當(dāng)n≥2時，a_n=2a_n-1+（n-1）•2ⁿ，設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1，則$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{2n-2}{n}$．

Answer 1

分析 將已知變形為$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=n-1，再由$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$）+（$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$-$\frac{{a}_{n-2}}{{2}^{n-2}}$）+…+（$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$-$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$）+$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$可求得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，于是b_n=$\frac{n（n-1）}{2}$+1-1=$\frac{n（n-1）}{2}$，當(dāng)n≥2時，利用裂項法可得$\frac{1}{_{n}}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），從而可得$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$的值．

解答 解：∵當(dāng)n≥2時，a_n=2a_n-1+（n-1）•2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+（n-1），即$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$）+（$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$-$\frac{{a}_{n-2}}{{2}^{n-2}}$）+…+（$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$-$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$）+$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$
=（n-1）+（n-2）+…+1+1=$\frac{n（n-1）}{2}$+1，
設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1，則b_n=$\frac{n（n-1）}{2}$+1-1=$\frac{n（n-1）}{2}$，
∴當(dāng)n≥2時，$\frac{1}{_{n}}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）]=2（1-$\frac{1}{n}$）=$\frac{2n-2}{n}$．
故答案為：$\frac{2n-2}{n}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，將已知變形為$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=n-1是關(guān)鍵，考查等價轉(zhuǎn)化思想與累加法、公式法、裂項法的綜合運用，屬于難題．