Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，正方形BCC₁B₁所在平面內(nèi)的動點(diǎn)P到直線D₁C₁DC的距離之和為2

2

，∠CPC₁=60°，則點(diǎn)P到直線CC₁的距離為（　�。�

• A、

  3

  3

• B、

  3

  2

• C、

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題,空間位置關(guān)系與距離

分析：由已知面BCC₁B₁內(nèi)的點(diǎn)P到直線C₁、C的距離之和為2

2

，由橢圓的定義即知點(diǎn)P的軌跡是橢圓的一部分，以CC₁所在的直線為x軸，線段CC₁的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y），得橢圓的方程為：

x2

2

+y²=1．由∠CPC₁=60°，求出S△CPC1，由此能求出點(diǎn)P到直線CC₁的距離．

解答： 解：在面BCC₁B₁內(nèi)到直線D₁C₁、DC的距離即為P到點(diǎn)C₁，C的距離，
故有面BCC₁B₁內(nèi)的點(diǎn)P到直線C₁、C的距離之和為2

2

，
由橢圓的定義即知點(diǎn)P的軌跡是橢圓的一部分．
以CC₁所在的直線為x軸，線段CC₁的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，
建立直角坐標(biāo)系，
則C（-1，0），C₁（1，0），
∴c=1，a=

2

，b=1．
設(shè)P（x，y），得橢圓的方程為：

x2

2

+y²=1．
∵∠CPC₁=60°，∴S△CPC1=1×tan30°=

3

3

，
設(shè)點(diǎn)P到直線CC₁的距離為h，則

1

2

×h×CC1=

3

3

，
解得h=

3

3

，∴點(diǎn)P到直線CC₁的距離為

3

3

．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．