Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ABC=90°，PA=AD=2，AB=BC=1．試問在線段PA上是否存在一點M到平面PCD的距離為

3

3

？若存在，試確定M點的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：取AD中點E，連接CE，由四邊形ABCE是平行四邊形，平行四邊形ABCE是矩形，從而△ACD是等腰直角三角形，進而CD⊥面PCA，面PCD⊥面PCA，作MF⊥PC于F，由△PMF∽△PCA，能求出PM．

解答： 解：存在M，取AD中點E，連接CE，∵AD=2，AC=1，E是AD中點，∴BC

∥

.

AE，
∴四邊形ABCE是平行四邊形，∵∠BAD=90°，
∴平行四邊形ABCE是矩形，
∴CE⊥AD，∵AE=ED，∴CA=CD，
∵CE=AE=ED=1，AC=CD=

2

，PC=

3

，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC⊥CD，∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD，∴CD⊥面PCA，
∵CD在面PCD內(nèi)，∴面PCD⊥面PCA，
∵面PCD∩面PCA=PC，∴作MF⊥PC于F，
∴MF⊥面PCD，MF=

3

3

，
∵△PMF∽△PCA，∴

MF

AC

=

PM

PC

，
∴

3 3

2

=

PM

3

，解得PM=

2

2

．

點評：本題考查滿足條件的點的位置的確定、平面與平面垂直的性質定理、勾股定理、二面角的求解等基礎知識，意在考查方程思想、等價轉化思想等數(shù)學思想方法和考生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力．