Question

已知函數(shù)f（x）=

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x³-ax²+1．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象關于點（0，1）對稱，直接寫出a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）≥1在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，求a的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用y=

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3

x³的對稱中心，通過平移變換，函數(shù)f（x）的圖象關于點（0，1）對稱，直接寫出a的值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，利用a與0大小比較，分類討論通過等號的符號，求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（Ⅲ）利用f（x）≥1在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，轉化為a的不等式，然后求解最值，即可求a的最大值．

解答： （共14分）
解：（Ⅰ）函數(shù)y=

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x³的對稱中心（0，0），平移變換后函數(shù)f（x）=

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x³+1的對稱中心（0，1），
∴a的值是0．…（2分）
（Ⅱ）f'（x）=x²-2ax．…（4分）
當a=0時，f'（x）≥0，f（x）在（-∞，+∞）內單調遞增；
當a＞0時，由f'（x）＜0得：0＜x＜2a；
當a＜0時，由f'（x）＜0得：2a＜x＜0．…（7分）
綜上所述，當a=0時，無遞減區(qū)間；當a＞0時，f（x）的單調遞減區(qū)間是（0，2a）；
當a＜0時，f（x）的單調遞減區(qū)間是（2a，0）．
（Ⅲ）因為 f（x）≥1在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，即

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3

x3-ax2≥0在區(qū)間[3，+∞）上恒成立．
所以 a≤

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3

x在區(qū)間[3，+∞）上恒成立．…（10分）
因為 x≥3，
所以 

1

3

x≥1．…（11分）
所以 a≤1．…（13分）
所以 若f（x）≥1在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，a的最大值為1．…（14分）

點評：本題考查函數(shù)的對稱性，導函數(shù)求解函數(shù)的單調區(qū)間，函數(shù)的恒成立問題的應用，考查分類討論轉化思想的應用，是中檔題．