Question

【題目】已知函數(shù).

（I）設(shè) 是的極值點．求實數(shù)的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）證明：當 時，.

Answer 1

【答案】(1) f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增．

(2)證明見解析.

【解析】分析：（I）求導(dǎo)，利用求出值，再利用導(dǎo)數(shù)的符號變化確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）先利用進行放縮，再構(gòu)造函數(shù)、求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)確定新構(gòu)造函數(shù)的最值即可．

詳解：（I）f（x）的定義域為 ，f ′（x）=．

由題設(shè)知，f ′（2）=0，所以．

從而 ， ．

當0<x<2時，f ′（x）<0；當x>2時，f ′（x）>0．

所以f（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增．

（II）當時， ．

設(shè)，則

當0<x<1時，g′（x）<0；當x>1時，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值點．

故當x>0時，g（x）≥g（1）=0．

因此，當 時，.