Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-2ax+b|（x∈R）．給出下列四個(gè)命題：
（1）f（x）必是偶函數(shù)；
（2）當(dāng)f（0）=f（2）時(shí)，f（x）的圖象必關(guān)于直線 x=1對(duì)稱；
（3）若a²-b≤0時(shí)，則f（x）在區(qū)間[a，+∞）上是增函數(shù)；
（4）f（x）有最大值|a²-b|；
其中所有真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，找到滿足f（0）=f（2），而圖象不關(guān)于x=1對(duì)稱的例子，二次函數(shù)符號(hào)和判別式△的關(guān)系，以及二次函數(shù)的圖象即可寫出真命題的序號(hào)．

解答： 解：（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象的形狀知，若a≠0，f（x）關(guān)于x=a對(duì)稱，所以f（x）不關(guān)于y軸對(duì)稱，也不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
∴函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)，∴（1）為假命題；
（2）令a=0，b=-2，滿足f（0）=f（2），但f（x）對(duì)稱軸是y軸不是x=1，∴（2）錯(cuò)誤；
（3）a²-b≤0時(shí)，對(duì)于函數(shù)x²-2ax+b，△=4a²-4b≤0，所以x²-2ax+b≥0；
∴f（x）=x²-2ax+b，所以f（x）在[a，+∞）上是增函數(shù)，∴（3）是真命題；
（4）根據(jù)f（x）的圖象便知f（x）無(wú)最大值，∴（4）是假命題；
∴只有（3）是真命題．
故答案為：（3）．

點(diǎn)評(píng)：考查二次函數(shù)的對(duì)稱性，偶函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，舉反例的方法，二次函數(shù)取值情況和判別式△的關(guān)系，以及二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)．