Question

【題目】點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，.

（1）求點P的坐標；

（2）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）(,).（2）

【解析】

（1）根據條件列關于P點坐標得方程組，解得結果，（2）先根據點到直線距離公式結合條件解得點M坐標，再建立的函數解析式，最后根據二次函數性質求最小值.

解:（1）由已知可得點A(－6,0),F(4,0)

設點P(,),則={+6,},={－4,},

由已知可得

則2+9－18=0,解得=或=－6.

由于>0,只能=,于是=.

∴點P的坐標是(,).

（2）直線AP的方程是－+6=0.

設點M(,0),則M到直線AP的距離是.

于是=,又－6≤≤6,解得=2.

橢圓上的點(,)到點M的距離為,

則,

由于－6≤≤6, ∴當=時,取得最小值.