Question

【題目】已知一個12位的正整數可以被37整除，且只包含數碼，求這個12為數的各位數字之和的所有可能值.

Answer 1

【答案】

【解析】

設滿足

，且,

令，取，

則,其中，，且,

取，

則,且,

設，

則 ,

由，知 ,

易知.故對任意，

.

從而，與中之一模37同余.

由為12位數知都小于等于4.

令，

則，且,

故,

又，

故,令,

又,故，從而，.

（1）當時，，

下面構造數滿足條件，

則 ，

取，滿足條件，其中，為高斯函數.

（2）當時，，

若，則，

由下表知，

其中， 表示時的取值.

但，均大于4，矛盾，

若，

則，

由表1知，但，均大于4，矛盾.

故

由對稱性，，

（3）類似（2）知，，

（4）當時，，若，

則，

由表1知，

則，

對，取，

則滿足條件，.

由對稱性，時，取滿足條件，.

（5）當時，類似（4）知，

對，取，

則滿足條件，.

由對稱性，時，取滿足條件，,

綜上，.