Question

在正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₅=16，對(duì)于任意的n∈N^*，函數(shù)f（x）=a_n+1²x-a_na_n+2（cosx+sinx），滿足f′（0）=0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)b_n=

2n-1

n(n+2)an

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n＜

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求出b_n=

2n-1

n(n+2)an

的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，即可證明不等式S_n＜

3

4

．

解答： 解：（1）∵f（x）=a_n+1²x-a_na_n+2（cosx+sinx），
∴f′（x）=a_n+1²-a_na_n+2（-sinx+cosx），
由f′（0）=0，得a_n+1²=a_na_n+2，又a_n＞0，
故數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且公比q＞0．…..（3分）
由a₁=1，a₅=16，得q⁴=16，q=2，
∴通項(xiàng)公式為a_n=2^n-1．
（2）∵b_n=

2n-1

n(n+2)an

=

2n-1

n(n+2)2n-1

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

4

-

1

n+1

-

1

n+2

＜

3

4

．
即S_n＜

3

4

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和，利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵．